Quadratische Pyramidenzahl -

Square pyramidal number

Die Pyramidenzahlen waren eine der wenigen Arten von dreidimensionalen Figurenzahlen, die in der griechischen Mathematik in Werken von Nicomachus , Theon von Smyrna und Iamblichus untersucht wurden . Formeln zum Summieren aufeinanderfolgender Quadrate zu einem kubischen Polynom, dessen Werte die quadratischen Pyramidenzahlen sind, werden von Archimedes angegeben , der diese Summe als Lemma als Teil einer Untersuchung des Volumens eines Kegels verwendete , und von Fibonacci als Teil von eine allgemeinere Lösung für das Problem, Formeln für Summen von Folgen von Quadraten zu finden. Die quadratischen Pyramidenzahlen waren auch eine der Familien von Figurenzahlen, die von japanischen Mathematikern der Wasan-Zeit untersucht wurden, die sie "kirei saijo suida" nannten.

Das gleiche Problem, formuliert als Zählen der Kanonenkugeln in einer quadratischen Pyramide, stellte Walter Raleigh dem Mathematiker Thomas Harriot im späten 16. Jahrhundert, als beide auf einer Seereise waren. Aus diesem Austausch soll sich das Kanonenkugelproblem entwickelt haben, bei dem es darum geht, ob es quadratische Pyramidenzahlen gibt, die auch andere Quadratzahlen als 1 und 4900 sind. Édouard Lucas fand die 4900-Kugel-Pyramide mit einer quadratischen Anzahl von Kugeln, und indem er das Kanonenkugelproblem bekannter machte, schlug er vor, dass dies die einzige nicht triviale Lösung sei. Nach unvollständigen Beweisen von Lucas und Claude-Séraphin Moret-Blanc wurde 1918 von

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Wenn Kugeln in quadratische Pyramiden gepackt werden, deren Anzahl der Schichten 1, 2, 3 usw. ist, dann sind die quadratischen Pyramidenzahlen, die die Anzahl der Kugeln in jeder Pyramide angeben:

Diese Zahlen können wie folgt algebraisch berechnet werden. Wenn eine Kugelpyramide in ihre quadratischen Schichten mit jeweils einer quadratischen Anzahl von Kugeln zerlegt wird, kann die Gesamtzahl der Kugeln als Summe der Anzahl der Kugeln in jedem Quadrat gezählt werden,

${\displaystyle P_{n}}$

$${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},}$$

und diese Summierung kann gelöst werden, um ein kubisches Polynom zu geben , das auf mehrere äquivalente Arten geschrieben werden kann:

$${\displaystyle P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6} }={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.}$$

Diese Gleichung für eine Summe von Quadraten ist ein Spezialfall von Faulhabers Formel für Summen von Potenzen und kann durch mathematische Induktion bewiesen werden .

( t + 1)( t + 2)( 2t + 3)

/

6

= Pt _{+ 1}

.

Geometrische Aufzählung

Alle 30 Quadrate in einem 4×4-Raster

Quadratraster zu finden. Diese Zahl lässt sich wie folgt ableiten:

Daraus folgt, dass die Anzahl der Quadrate in einem

n × n

- Quadratgitter ist:

$${\displaystyle n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+ 1)(2n+1)}{6}}.}$$

Das heißt, die Lösung des Rätsels ist durch die . als äquivalent angesehen werden, ist die Anzahl der Matrizen mit nicht negativen ganzzahligen Koeffizienten, die sich zu summieren , für ungerade Werte von , eine quadratische Pyramidenzahl.

${\displaystyle P_{n}}$

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen

Eine quadratische Kanonenkugelpyramide auf Rye Castle in England

4900 Kugeln, die als quadratische Pyramide mit der 24. Seite und einem Quadrat mit der 70. Seite angeordnet sind

Das Kanonenkugelproblem fragt nach der Größe von Kanonenkugelpyramiden, die auch zu einer quadratischen Anordnung ausgebreitet werden können, oder äquivalent, welche Zahlen sowohl quadratisch als auch quadratisch pyramidenförmig sind. Außer 1 gibt es nur eine andere Zahl, die diese Eigenschaft hat: 4900, die sowohl die 70. Quadratzahl als auch die 24. Quadratpyramidenzahl ist.

Die quadratischen Pyramidenzahlen können als Summen von Binomialkoeffizienten ausgedrückt werden :

$${\displaystyle P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}.}$$

Die in dieser Darstellung vorkommenden Binomialkoeffizienten sind Tetraederzahlen , und diese Formel drückt eine quadratische Pyramidenzahl als Summe zweier Tetraederzahlen aus, genauso wie Quadratzahlen die Summen zweier aufeinanderfolgender Dreieckszahlen sind . Wenn ein Tetraeder an einer seiner Flächen gespiegelt wird, bilden die beiden Kopien eine dreieckige Bipyramide . Die quadratischen Pyramidenzahlen sind auch die figurierten Zahlen der dreieckigen Bipyramiden, und diese Formel kann als Gleichheit zwischen den quadratischen Pyramidenzahlen und den dreieckigen Bipyramidenzahlen interpretiert werden. Analog dazu erzeugt die Spiegelung einer quadratischen Pyramide an ihrer Basis ein Oktaeder, woraus folgt, dass jede Oktaederzahl die Summe zweier aufeinanderfolgender quadratischer Pyramidenzahlen ist.

Quadratische Pyramidenzahlen hängen auch auf andere Weise mit tetraedrischen Zahlen zusammen: Die Punkte von vier Kopien derselben quadratischen Pyramide können neu angeordnet werden, um ein einzelnes Tetraeder mit doppelt so vielen Punkten entlang jeder Kante zu bilden. Das ist,

$${\displaystyle 4P_{n}=T_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.}$$

Andere Eigenschaften

, obwohl sie schneller konvergiert. Es ist:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&= 1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac { 1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\ungefähr 0,849556.\ \\end{aligned}}}$$

In der Approximationstheorie bilden die Folgen von ungeraden Zahlen, Summen von ungeraden Zahlen (Quadratzahlen), Summen von Quadratzahlen (quadratische Pyramidenzahlen) usw. die Koeffizienten in einem Verfahren zum Umwandeln von Tschebyscheff-Approximationen in Polynome .

Verweise

Externe Links

• Weisstein, Eric W. , "Quadratpyramidenzahl" , MathWorld