Liste der Mersenne-Primzahlen und perfekten Zahlen -
List of Mersenne primes and perfect numbers

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Cuisenaire-Stäbe, die die richtigen Teiler von 6 (1, 2 und 3) zeigen, die sich zu 6 addieren
Visualisierung von 6 als vollkommene Zahl
Ein Diagramm, das Jahre auf der x-Achse mit der Anzahl der Stellen der größten bekannten Primzahl logarithmisch auf der y-Achse darstellt, mit zwei Trendlinien
Logarithmisches Diagramm der Anzahl der Ziffern der größten bekannten Primzahl nach Jahr, von denen fast alle Mersenne-Primzahlen waren
.

ist perfekt.

Es ist derzeit ein offenes Problem , ob es unendlich viele Mersenne-Primzahlen und sogar vollkommene Zahlen gibt. Die Häufigkeit von Mersenne-Primzahlen ist Gegenstand der Lenstra-Pomerance-Wagstaff-Vermutung , die besagt, dass die erwartete Anzahl von Mersenne-Primzahlen kleiner als ein bestimmtes

x
ist
( e γ / log 2) × log log x
, wobei
e
die Euler-Zahl ist.
γ
ist die Euler-Konstante und
log
ist der natürliche Logarithmus . Es ist auch nicht bekannt, ob ungerade vollkommene Zahlen existieren; Es wurden verschiedene Bedingungen für mögliche ungerade vollkommene Zahlen nachgewiesen, einschließlich einer Untergrenze von
10 1500
.

Das Folgende ist eine Liste aller derzeit bekannten Mersenne-Primzahlen und vollkommenen Zahlen, zusammen mit ihren entsprechenden Exponenten

p
. Ab 2022 gibt es 51 bekannte Mersenne-Primzahlen (und damit perfekte Zahlen), von denen die größten 17 vom Distributed-Computing- Projekt Great Internet Mersenne Prime Search oder GIMPS entdeckt wurden. Neue Mersenne-Primzahlen werden mit dem Lucas-Lehmer-Test (LLT) gefunden, einem Primzahltest für Mersenne-Primzahlen, der für Binärcomputer effizient ist.

Die angezeigten Ränge gehören zu den aktuell bekannten Indizes ab 2022; Obwohl es unwahrscheinlich ist, können sich die Ränge ändern, wenn kleinere entdeckt werden. Laut GIMPS wurden alle Möglichkeiten kleiner als der 48. Arbeitsexponent

p = 57.885.161
ab Oktober 2021 überprüft und verifiziert. Das Entdeckungsjahr und der Entdecker sind die Mersenne-Primzahl, da die perfekte Zahl unmittelbar aus dem Euklid-Euler-Theorem folgt. Als „GIMPS / Name “ bezeichnete Entdecker beziehen sich auf GIMPS-Entdeckungen mit Hardware, die von dieser Person verwendet wird. Spätere Einträge sind extrem lang, sodass nur die ersten und letzten 6 Ziffern jeder Nummer angezeigt werden.

Tabelle aller 51 derzeit bekannten Mersenne-Primzahlen und entsprechenden perfekten Zahlen
Rang
P
Mersenne-Primzahl Mersenne-Primzahlen Perfekte Nummer Perfekte Zahlenziffern Entdeckung Entdecker Methode Ref.
1 2 3 1 6 1
Antike
Nicht eingetragen
2 3 7 1 28 2
3 5 31 2 496 3
4 7 127 3 8128 4
5 13 8191 4 33550336 8
C. 1456
Anonym Probeabteilung
6 17 131071 6 8589869056 10
1588
Pietro Cataldi
7 19 524287 6 137438691328 12
8 31 2147483647 10 230584...952128 19
1772
Leonhard Euler Probeaufteilung mit modularen Einschränkungen
9 61 230584...693951 19 265845...842176 37
November 1883
Iwan M. Perwuschin Lucas-Sequenzen
10 89 618970...562111 27 191561...169216 54
Juni 1911
Ralph Ernest Powers
11 107 162259...288127 33 131640...728128 65
1. Juni 1914
12 127 170141...105727 39 144740...152128 77
10. Januar 1876
Edouard Lucas
13 521 686479...057151 157 235627...646976 314
30. Januar 1952
Raphael M.Robinson LLT auf SWAC
14 607 531137...728127 183 141053...328128 366
fünfzehn 1.279 104079...729087 386 541625...291328 770
25. Juni 1952
16 2.203 147597...771007 664 108925...782528 1.327
7. Oktober 1952
17 2.281 446087...836351 687 994970...915776 1.373
9. Oktober 1952
18 3.217 259117...315071 969 335708...525056 1.937
8. September 1957
Hans Riesel LLT auf BESK
19 4.253 190797...484991 1.281 182017...377536 2.561
3. November 1961
Alexander Hürwitz LLT auf IBM 7090
20 4.423 285542...580607 1.332 407672...534528 2.663
21 9.689 478220...754111 2.917 114347...577216 5.834
11. Mai 1963
Donald B. Gillies LLT auf ILLIAC II
22 9.941 346088...463551 2.993 598885...496576 5.985
16. Mai 1963
23 11.213 281411...392191 3.376 395961...086336 6.751
2. Juni 1963
24 19.937 431542...041471 6.002 931144...942656 12.003
4. März 1971
Bryant Tuckermann LLT auf IBM 360 /91
25 21.701 448679...882751 6.533 100656...605376 13.066
30. Oktober 1978
Landon Curt Noll & Laura Nickel LLT auf CDC Cyber 174
26 23.209 402874...264511 6.987 811537...666816 13.973
9. Februar 1979
Landon CurtNoll
27 44.497 854509...228671 13.395 365093...827456 26.790
8. April 1979
Harry L. Nelson & David Slowinski LLT auf Cray-1
28 86.243 536927...438207 25.962 144145...406528 51.924
25. September 1982
David Slowinsky
29 110.503 521928...515007 33.265 136204...862528 66.530
29. Januar 1988
Walter Colquitt & Luke Welsh LLT auf NEC SX -2
30 132.049 512740...061311 39.751 131451...550016 79.502
19. September 1983
David Slowinskiet al. ( Cray ) LLT auf Cray X-MP
31 216.091 746093...528447 65.050 278327...880128 130.100
1. September 1985
LLT auf Cray X-MP/24
32 756.839 174135...677887 227.832 151616...731328 455.663
17. Februar 1992
33 859.433 129498...142591 258.716 838488...167936 517.430
4. Januar 1994
LLT auf Cray C90
34 1.257.787 412245...366527 378.632 849732...704128 757.263
3. September 1996
LLT auf Cray T94
35 1.398.269 814717...315711 420.921 331882...375616 841.842
13. November 1996
GIMPS / Joel Armengaud LLT / Prime95 auf 90-MHz -Pentium- PC
36 2.976.221 623340...201151 895.932 194276...462976 1.791.864
24. August 1997
GIMPS / Gordon Spence LLT / Prime95 auf 100-MHz-Pentium-PC
37 3.021.377 127411...694271 909.526 811686...457856 1.819.050
27. Januar 1998
GIMPS / Roland Clarkson LLT / Prime95 auf 200-MHz-Pentium-PC
38 6.972.593 437075...193791 2.098.960 955176...572736 4.197.919
1. Juni 1999
GIMPS / Nayan Hajratwala LLT / Prime95 auf IBM Aptiva mit 350 MHz Pentium II Prozessor
39 13.466.917 924947...259071 4.053.946 427764...021056 8.107.892
14. November 2001
GIMPS / Michael Cameron LLT / Prime95 auf PC mit 800 MHz Athlon T-Bird Prozessor
40 20.996.011 125976...682047 6.320.430 793508...896128 12.640.858
17. November 2003
GIMPS / Michael Shafer LLT / Prime95 auf Dell Dimension PC mit 2 GHz Pentium 4 Prozessor
41 24.036.583 299410...969407 7.235.733 448233...950528 14.471.465
15. Mai 2004
GIMPS / Josh Findley LLT / Prime95 auf PC mit 2,4 GHz Pentium 4 Prozessor
42 25.964.951 122164...077247 7.816.230 746209...088128 15.632.458
18. Februar 2005
GIMPS / Martin Nowak
43 30.402.457 315416...943871 9.152.052 497437...704256 18.304.103
15. Dezember 2005
GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone LLT / Prime95 auf PC an der University of Central Missouri
44 32.582.657 124575...967871 9.808.358 775946...120256 19.616.714
4. September 2006
45 37.156.667 202254...220927 11.185.272 204534...480128 22.370.543
6. September 2008
GIMPS / Hans-Michael Elvenich LLT / Prime95 auf dem PC
46 42.643.801 169873...314751 12.837.064 144285...253376 25.674.127
4. Juni 2009
GIMPS / Odd Magnar Strindmo LLT / Prime95 auf PC mit 3 GHz Intel Core 2 Prozessor
47 43.112.609 316470...152511 12.978.189 500767...378816 25.956.377
23. August 2008
GIMPS / Edson Smith LLT / Prime95 auf Dell OptiPlex PC mit Intel Core 2 Duo E6600 Prozessor
48 57.885.161 581887...285951 17.425.170 169296...130176 34.850.340
25. Januar 2013
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 auf PC an der University of Central Missouri
* 59.451.331 Niedrigster unbestätigter Meilenstein
49 74.207.281 300376...436351 22.338.618 451129...315776 44.677.235
7. Januar 2016
GIMPS / Curtis Cooper LLT / Prime95 auf PC mit Intel Core i7-4790 Prozessor
50 77.232.917 467333...179071 23.249.425 109200...301056 46.498.850
26. Dezember 2017
GIMPS / Jonathan Pace LLT / Prime95 auf PC mit Intel Core i5-6600 Prozessor
51 82.589.933 148894...902591 24.862.048 110847...207936 49.724.095
7. Dezember 2018
GIMPS / Patrick Laroche LLT / Prime95 auf PC mit Intel Core i5-4590T Prozessor
* 107.148.487 Niedrigster ungetesteter Meilenstein

Anmerkungen

Verweise