Geometrisch-harmonisches Mittel -
Geometric–harmonic mean

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In der Mathematik ist das geometrisch-harmonische Mittel M ( x , y ) zweier positiver reeller Zahlen x und y wie folgt definiert: Wir bilden das geometrische Mittel von g 0 = x und h 0 = y und nennen es g 1 , dh g 1 ist die Quadratwurzel von xy . Wir bilden auch das harmonische Mittel von x und y und nennen es h 1 , dh h 1 ist der Kehrwert des arithmetischen Mittels der Kehrwerte von x und y . Diese können nacheinander (in beliebiger Reihenfolge) oder gleichzeitig erfolgen.

Jetzt können wir diese Operation wiederholen, wobei g 1 an die Stelle von x und h 1 an die Stelle von y tritt . Auf diese Weise werden zwei voneinander abhängige Sequenzen ( g n ) und ( h n ) definiert:

und

Beide Sequenzen konvergieren zu derselben Zahl, die wir als geometrisch-harmonisches Mittel M ( x y ) von x und  y bezeichnen . Das geometrisch-harmonische Mittel wird auch als harmonisch-geometrisches Mittel bezeichnet . (vgl. Wolfram MathWorld unten.)

Die Existenz der Grenze kann mit Hilfe des Bozen-Weierstraß-Theorems auf nahezu identische Weise wie der Existenznachweis des arithmetisch-geometrischen Mittels nachgewiesen werden .

Eigenschaften

M ( x y ) ist eine Zahl zwischen dem geometrischen und dem harmonischen Mittel von x und y ; insbesondere liegt es zwischen x und y . M ( x y ) ist ebenfalls homogen , dh wenn r  > 0 ist, dann ist M ( rx ry ) =  r M ( x y ).

Wenn AG ( x , y ) das arithmetisch-geometrische Mittel ist , dann haben wir auch

Ungleichungen

:

wobei die iterierten pythagoreischen Mittel mit ihren Teilen { H G A } in fortschreitender Reihenfolge identifiziert wurden :

  • H ( x y ) ist das harmonische Mittel,
  • HG ( x y ) ist das harmonisch-geometrische Mittel,
  • G ( x y ) =  HA ( x y ) ist das geometrische Mittel (das auch das harmonisch-arithmetische Mittel ist),
  • GA ( x y ) ist das geometrisch-arithmetische Mittel,
  • A ( x y ) ist das arithmetische Mittel.

Siehe auch

Weisstein, Eric W. "Harmonisch-geometrisches Mittel" . MathWorld .